泰勒展开式与人生意义

2009.01.27

泰勒公式     在YouTube上看到了一段教数学的视频,就是台湾那个老师讲的。内容是泰勒展开式入门(http://www.youtube.com/watch?v=XXnAoC7BW6k),其中有一些话颇有意义。

如果一个函数如果可以用等号后面的东西表示出来的话,那么这个函数就是说,可以用泰勒展开式的方法展开来的。

     在人类历史上,人类对泰勒展开式的兴趣之所以那么高,完完全全是因为(x-a)的n次方,(x-a)的n次方是多项式,多项式是当时人类最熟悉的函数形式之一。

     但是在比较高等的数学里,我们有兴趣的完完全全是f(x)在a处的n阶导数这一项。这个n阶导数完全刻画出了泰勒展开式最重要的一个特征,叫做:“一叶知秋”。什么叫做“一叶知秋”,就是说一片叶子掉下来,我就知道秋天到了。好,f(x)在a处的n阶导数,导数的定义是什么,导数的定义是在x趋近于a的时候在a的临域所发生的事情。f(x)在a处的n阶导数就是它的一阶变化率,二阶变化率,三阶变化率... 但是呢,它始终是在a的旁边一点点。我只要知道a点附近的这些东西,除以n的阶乘,再乘以(x-a)的n次方,我就完完全全可以知道函数在整个坐标系里的行为是什么,就知道了这个函数是什么。也就是说,我只要得到a附近的一点点的信息,我就可以知道这个函数长什么样子。

     不只是这些,a还可以动,也就是说,函数上任意一点的临域都包含着函数的全部讯息!这就是泰勒展开式最重要的意义。

     事实上泰勒展开式所研究的函数的种类,是数学上很稀少的一类,叫做解析函数。

     我们的人生是解析函数吗?如果是的话,我们可以在最短最短时间内我们所经历的一切,外推到整个人生。所以说,如果人生是解析函数的话,那就太棒了。我们只要活一点点,我们就可以用一点点的生涯去幻想无穷无尽的生命到底是长什么样子。

     有一个我很敬佩的数学家,他说过一句话,“死并不可怕,死只是我所遇到的最后一个函数”。意思就是说,其实他认为人生并不是解析函数,他在那个时候已经认识到了,人生是充满着断点,跳跃,以及不连续点,人生是一个非常非常算是 正规 的函数。因为事实上,Weierstrass已经证明:处处连续但处处不可微分的函数才是函数的常态

 

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没看完,坚持不住了,很有眩晕感...

顶...飘过...

我在yahoo刚看完一个视频,还想把这段话给记录下来,然后google搜索“死并不可怕,死只是我遇到的最后一个函数“这句话是谁说的,想不到已经有人把这个视频的文字部分提出出来了,惊。
想知道楼主是在学学生还是?我也是学计算机的,最近在学数学。

最近在思考这个问题,就搜到你的网页了,很受启发

大约四年前学的泰勒展开,现在要开始用上了,没有书便想上网看看,原来网上的世界比书上更精彩啊~~~

PS:哪一行都要学好数学啊~~~

“我只要得到a附近的一点点的信息,我就可以知道这个函数长什么样子。”
听上去很玄,仔细一想完全错误,泰勒展开是针对邻域的,即左右两边都限定在a的邻域等式才成立。这个台湾老师也真能瞎掰胡,真是误人子弟。

回复 Anonymous: 对!确实有问题。被你看出来了。

6 Anonymous 2010.11.06
“我只要得到a附近的一点点的信息,我就可以知道这个函数长什么样子。”
听上去很玄,仔细一想完全错误,泰勒展开是针对邻域的,即左右两边都限定在a的邻域等式才成立。这个台湾老师也真能瞎掰胡,真是误人子弟。
7 YuAo 2010.11.06
回复 Anonymous: 对!确实有问题。被你看出来了。

我觉得不是这样。这个邻域可以很大,只要在邻域里面高阶可导即可。
虽然台湾老师说的不是太严谨,但我们还是可以从他想表达的角度出发来理解:只要我知道函数在某一点的任意阶导数(就是所谓的a附近一点点信息),我们就可以知道这个函数在整个可导定义域里面的取值了。
即便这个说法,也似乎是有些矛盾的,因为所有的高阶导数的得到,就是通过远处的函数取值传递过来的(邻居相减)

楼上的,你的意思是说这种说法是颠倒了因果关系吗?你觉得a点附近的一点点信息即a点的任意阶导数的得来都是由a点附近的函数一阶一阶求出来的,所以不是因为知道了a的信息才知道了函数,而是知道了a点附近的函数才知道了a点的高阶导数,是这样吗?但是,如果这样的话,那泰勒展开式的意义到底是什么呢?

泰勒级数除了纯数学上的意义以外还有现实应用方面的意义。比如,把一个非常复杂的函数展开成泰勒级数。在某些条件下或某个较小的区域内,高阶项可能会比较小。在这种情况下,就可以只用前面的一两项来估算。这样就大大简化了计算的复杂程度。



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